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《中学数学研究》——第一章数与数系

 

   

2013级数学与应用数学

学科

中学数学研究

教师

李艳琴

教学目标

了解数系历史发展的过程;掌握数系的扩充过程。

重难点

数系的历史发展过程;数系的扩充过程

   

新知课

教学方法

讲授法

教学内容与程序

一、数系的历史发展

⑴数学思维对象与实体的分离

数的概念的产生和发展

人类在朦胧时代就已具有识别事物多寡的能力。从这种原始的“数觉”到抽象的“数”概念的形成,是一个缓慢的、渐进的过程。原始人先是注意到一只羊与许多羊、一头狼与整群狼的区别,逐渐看到一只羊、一头狼、一条鱼之间存在着某种共通的东西,即他们的单位性。

数:一定物群所共有的抽象性质。

“数”概念的形成可能与火的使用一样古老,大约是在30万年以前。

Ⅰ最早是手指计数。十进制、五进制多发于此。

Ⅱ石子计数。但计数的石子堆很难长久保存信息。

Ⅲ结绳计数、刻痕计数。

人类刻痕计数发现的最早证据,是1937年在捷克摩拉维亚出土的幼狼胫骨,其上有55道刻痕。

 

历史途径扩展:

*自然数→正有理数→简单的代数无理数(如等)→零(公元650年左右,印度)与负有理数→复数→严格的实数系。

逻辑扩展:

自然数整数系有理数系实数系复数系。

注:四元数不满足某些数的性质,故不属于数系。

 

⑵从一个数系A扩展到新的数系B,应当遵循如下的结构主义原则:

AB的真子集,即

②在新数上建立各种运算。A的元间所定义的运算关系,在B的元间也有相应的定义,且B的元间的这些关系和运算对B中的A的元来说与原定义一致;这保证老结构和新结构彼此相容。

B的结构和A的结构可能有本质不同。某种运算在A中不是总能实施,在B中却总能实施。

④在A的具有上述三个性质所有的扩展中,在同构意义下,B是唯一最小扩展。

 

(补充)基本概念

同构——是两个代数系统。若存在上的一一映射,且,有,则称同构,为同构映射。

扩张——若的一个真子集,且同构,则称的一个扩张。

二、自然数系和0

⑴自然数的基数理论和序数理论

①建立自然数理论的几种方案

Ⅰ康托尔以集合论为基础,建立自然数基数理论;

Ⅱ皮亚诺以公理法为基础,建立自然数序数理论;

Ⅲ罗素等人试图用纯逻辑学为基础,建立自然数理论。

 

②自然数的基数理论

Ⅰ定义。基数→有限集→自然数

自然数:有限集的基数。

Ⅱ顺序。

顺序定义

如果有限集的基数分别为。那么,

时,说等于,记作

时,就说小于,记作

时,就说大于,记作

顺序性质

运算

运算定义

加法定义:设都是有限集。,则的基数为a加上b的和,记作

乘法定义:若个有限集彼此之间没有公共元素,它们的基数都是,则称的基数为a乘以b的积,记作

运算性质

自然数的加法满足交换律和结合律。

(乘法交换律)

(乘法结合律)

(乘法对加法的分配律)

 

③自然数的序数理论

Ⅰ提出原因

基数理论没有很好揭露自然数在顺序上的意义,也没有给出自然数加法、乘法运算的具体方法。

Ⅱ定义

集合的元素叫做自然数。如果的元素间有一个基本关系“后继”(用“+”表示),并满足

(归纳公理)

注:归纳公理是数学归纳法的理论依据。

Ⅲ顺序

顺序定义

等于:

小于:

顺序性质

自然数的顺序关系具有对逆性、传递性和全序性。

Ⅳ运算

运算定义

加法:自然数的加法是一种对应关系“+”,由于它,对任何,有唯一确定的,并且

乘法:自然数的乘法是一种对应关系“·”,由于它,对任何,有唯一确定的,并且

减法:设,若存在,使,则称xa减去b的差,记作,这里a叫做被减数,b叫做减数。求两数差的运算叫做减法。

除法:设,若存在,使,则称xa除以b的商,记作,这里a叫做被除数,b叫做除数。求两数商的运算叫做除法。

证明

证明

运算性质

加法的唯一性、结合律、交换律;乘法的唯一性、结合律、交换律。

自然数列的离散性:任意两个相邻的自然数之间不存在自然数,使

阿基米德性:对任意,必有

(右分配律)对任何,总有

 

⑵关于自然数系的几点说明

⒈定义了加法和乘法运算的自然数系统也称为算术系统。

⒉公理系统的一个基本要求是公理之间的在逻辑上的相容性,也就是说必须保证从公理出发不会推导出两个矛盾的命题。

⒊整数的算术运算系统中存在大量的数论难题。

 

⑶自然数和0

“自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。

我国数学教科书中在20世纪90年代之前一直没有把0作为自然数。1993年《中华人民共和国国家标准》中《量和单位》311页规定自然数包括0

从集合论的角度看,把0作为自然数比较合理。

将这一系列集合所对应的基数看成自然数列

三、从自然数系到整数环

德国著名数学家克罗内克有一句名言:“上帝创造了自然数,其它的数都是人造的。”

定义:笛卡儿积上二元关系当且仅当,容易知道这是一个等价关系,记等价类,等价类集合记为,并定义上加法、减法、乘法运算与顺序关系如下:

 

性质:

②(增加的性质)的减法封闭,引入零元、负元。

零元:

 

顺序:

①顺序定义

②顺序性质

是一个全序集,但不是良序集(每一个非空子集都有最小元);

保持离散性、阿基米德性。

 

 

是交换群,是半群,而且中乘法对加法的分配律成立。因此,是环。

 

(补充)基本概念:

群——是一个非空集合,上的一个代数运算。即且满足

⑴结合律,即

中有元素,有

⑶对中每个元素,有元素,使,则称关于“”构成一个群,记作

环——是一个非空集合,如果在上定义两个代数运算,分别称为加法和乘法,并且满足:

关于加法成为一个交换群;

,有

则称构成一个环。

 

 

四、数学归纳法

⒈数学归纳法的几种形式

⑴(第一数学归纳法)设是关于自然数的命题,若

时成立

是任意自然数)成立的假设下可以推出成立。

对一切自然数都成立。

 

 

证明:设是使命题成立的所有自然数组成的集合,则由

Ⅱ若,则

由归纳公理,得证。

 

⑵第一数学归纳法的一种变形(移动起点)设是关于自然数的命题,若

时成立。其中为任何一个具体的自然数。

)成立的假设下可以推出成立。

对一切自然数)都成立。

 

⑶第二数学归纳法(串值归纳法)设是关于自然数的命题,若

时成立。

Ⅱ假设对于所有适合的自然数成立,则成立。

对一切自然数都成立。

 

⑷第二数学归纳法的一种变形(增多起点)设是关于自然数的命题,若

时成立。

Ⅱ假设真,则真。