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《中学数学研究》——第二章式、代数式和不等式

 

   

2013级数学与应用数学

学科

中学数学研究

教师

肖宏治

教学目标

掌握学生学会用符号语言表示数学思想;掌握不等式证明的基本方法。

重难点

学生学会用符号语言表示数学思想;不等式证明的基本方法。

   

新知课

教学方法

讲授法

教学内容与程序

用字母表示数,数学研究的对象便从数扩展到式。式本身不仅是代表数的符号,也是表明对于数和字母按怎样的次序进行什么运算的符号。

按照一定的数学法则,把数学符号连接起来的符号串,我们称之为数学式。数学式是数学研究的基本对象。

 

一、数学符号简史

古代数学涉及的抽象概念很少,也很少利用抽象符号。欧几里得《几何原本》就不使用数学符号。中国古代数学虽然很早就使用小数和分数,包括使用0,也大量求解方程,但是因为计算过程依赖于算筹,所以也没有使用小数点、分数和其它运算符号,0只是一个空格。

公元10世纪左右的阿拉伯数学,用文字代表数,使得数和文字可以实行运算,并借此求未知数,这是一项重大贡献,但是他们仍然以文字表述为主。

 

最早使用“+”“-”表示加减的是15世纪的德国数学家。现存于德累斯顿图书馆的数学手稿(1486年)中,首见此符号。

1631年,英国数学家奥特雷德在《数学之钥》一书中使用“×”表示乘法,而1698年莱布尼茨在一封信中使用“.”表示乘法,这样可以避免“×”和字母混淆。除法的记号“÷”在1659年由瑞士人雷恩引入。

等号是英国数学家雷科德于1557年在《励智石》一书首先使用。

 

表示方程的符号,世界各国很不相同,可以说五花八门。19世纪末20世纪初国际交往的扩大,终于有了比较统一的国际通用的数学符号。

 

中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政府推行“中学为体,西学为用”的政策,在符号使用上拒绝和国家接轨。

1897年京师同文馆数学大考题中的两则考题:

详见《中学代数研究》

1859年《代微积拾级》出版算起,取代天、地、人、元的过程,前后经历了半个世纪之久。

 

 

二、数学符号语言——代数式

自学《中学代数研究》

三、字母表示数

自学《中学代数研究》

 

 

四、解析式

解析式——用运算符号、函数符号、括号,作用于数字和字母之上形成的数学式。

代数式:只含有加、减、乘、除四则运算和有理数次的乘方开方运算的解析式。

超越式:解析式中如果除了代数运算之外,还有超越运算,称之为超越式。

是一个数域,称为数域上的多项式,其中称为多项式的项,称为项的系数,变数字母所取的数值都属于数域都是非负整数。

各个系数都等于零的多项式称为零多项式。零多项式的值总是零。

多项式的次数——对于非零多项式中的最大的非负整数值称为这个多项式的次数。

多项式恒等——数域上的两个具有相同变数字母的多项式,如果对于变数字母的所有取值,这两个多项式的值都相等,那么称这两个多项式是恒等的。

 

定理:以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多项式的对应项分别是具有相同系数的同类项。(待定系数法的理论依据)

求证是一个完全平方式的充分必要条件是,并且都是非负实数。

⑴(必要性)如果,那么

因而都是非负实数,并且

⑵(充分性)如果都是非负实数,并且,那么

 

 

 

⒉分式

有理分式——两个多项式的比称为有理分式,也可简称为分式。

有理分式的定义域——在已知数域内,任意一组使分式的分母不为零的自变数值,使分式有一个完全确定的值与它对应,所有这样的自变数值组的集合称为这个分式的定义域。

化简

将原式各项通分,得到公分母,分子

显然,当时,。因此可以断定能被整除。同理可知,能被所含有的每一个二项式因式整除。

如果以的所有二项式因式的积除,可得

,这里是零次多项式。

代入的两个表达式,得到,于是,从而原式化简为

 

⒊根式

算术根——次幂等于的非负实数,称为数次算术根,并记作,其中称为根指数,称为被开方数。

最简根式——如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的,被开方数的每一个因式的指数都小于根指数,并且被开方数不含有分母,那么称这个根式为最简根式。

化简

因为,所以,。因为,所以,是符号相同的数。

     

可知,当时,原式=

      时,原式=

      ,并且时,原式

      ,并且时,原式

 

 

⒋指数式与对数式

⑴指数式

定义1——如果,规定

定义2——,这里的

定义3——,这里的

定义4——,这里的是任何正有理数。

定义5——当是正无理数,是正实数,分别是的精确到的不足近似值和过剩近似值时,规定数列的共同极限是的无理数指数幂,记作,即

是正无理数,是正实数时,规定

 

⑵对数式

定理(对数存在定理):如果正实数不等于1,那么对于任一给定的正实数,有唯一的实数,使次幂等于,即

定义——如果不等于1的正实数的某次乘方的幂等于正实数,那么称这个幂的指数是以为底的的对数。

 

⒌三角式与反三角式

在初等数学中,三角函数由几何性质给出定义,但研究由三角式与反三角式给出的解析式主要是运用代数的方法,并且着重于三角式与反三角式的恒等变形。

 

⑴三角式

在初等数学中,三角函数的定义是用几何方法建立起来的,它仅仅给出了自变数的取值与三角函数值的对应,而不能给出直接由自变数的值计算三角函数值的公式。

在数学分析教程中,用泰勒公式可将三角函数展开为幂级数。事实上,三角式的概念及其运算关系的建立并不依赖于几何的解释。

定义——对于实数,符号称为解析余弦,称为解析正弦,其中

,如果,并且,那么表达式分别称为反正弦、反余弦。

 

 

 

 

等式——两个解析式用等号连接起来的式子称为等式:

用不等号连接起来的式子称为不等式:

,则

定理2(三歧性)  中有且只有一个成立。

定理3  ,则

推论可以把不等式中任何一项变为相反的符号后,从一边移到另一边。

推论,则

推论,则

定理4  ,则当时,;当时,

推论

推论

推论,整数,则

推论,整数,则

定理5  ,则的充要条件是的充要条件是

定理6  ,其中等号当且仅当时成立。

推论

推论

 

 

五、绝对不等式的证明

l  用放缩法证明不等式

利用放缩法证明不等式的关键是寻找中间变量,使成立,在量之间架起一座桥梁,通过桥梁的过渡,使之间间接地建立起不等关系。

  已知为正整数,试证:

,得

,证毕。

 

l  构造函数证明不等式

某些不等式从结构上接近某一函数,把某一字母看成自变量构造恰当的函数,利用函数的某些性质来证明不等式。利用构造函数证明不等式关键是构造恰当的不等式。

  已知,求证:

,易证上是增函数。

因为,所以。从而有

,求证:

四边形为正方形,令点坐标为,则

 

l  反证法在不等式证明中的应用

反证法是解决数学问题的一种重要方法,在不等式的证明中也有广泛的应用。用反证法证明不等式,即先否定结论不成立,然后依据已知条件以及有关的定义、定理、公理,逐步导出与定义、定理、公理或已知条件等相矛盾或自相矛盾的结论,从而肯定原结论是正确的。

  已知,求证:中至少有一个不小于

分析

此题从正面解决比较困难,可用反证法,假设结论不成立,即都小于,则

此式与②矛盾,这说明假设不成立,故原命题成立。

 

 

六、条件不等式的求解

l  分类讨论

  为自然数,,解关于的不等式:

,还有自然数。先把此不等式化简,再对参数进行讨论。不等式化简为:

进行讨论:

⑴当为偶数时,原不等式转化为

⑵当为奇数时,原不等式转化为