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《中学数学研究》——第三章方程

 

   

2013级数学与应用数学

学科

中学数学研究

教师

李艳琴

教学目标

掌握方程的概念及其基本思想;掌握方程的同解变形原理及特殊类型方程的解法;了解简单的微分方程和积分方程。

重难点

方程的概念及其基本思想;方程的同解变形原理及特殊类型方程的解法;简单的微分方程和积分方程。

   

新知课

教学方法

讲授法

教学内容与程序

一、方程的历史发展及其科学价值

㈠方程发展简史

公元前1700年时期古埃及数学著作《兰德纸草书》记载:一个量,加上它的,等于19,求这个量。另一部古埃及数学著作《柏林纸草书6619》上有一个题目是“将一个面积为100的大正方形分为两个小正方形,一个边长是另一个的”。古巴比伦泥板书上也有类似的数学问题:“两数互为倒数,二者之差是7,求这两个数”。

欧几里得几何《原本》中则有很多问题还要用到解二次方程。

中国古代数学著作《九章算术》中有“方程”章,包含了很多关于方程的问题。“今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”《九章算术》没有表示未知数的符号,而是用算筹将的系数和常数项排列成一个(长)方阵,这就是“方程”之一名称的来源。

 

希腊数学家丢番图《算术》中,讨论了一次方程、二次方程和个别三次方程,还讨论了大量的不定方程。印度数学家阿耶波多在《阿耶波多历数书》中给出了二次方程的求解方法。婆罗摩笈多在公元628年完成的《婆罗摩笈多修正体系》一书中,也给出了一般二次方程的求根公式。

花拉子米的《代数学》一开头就指出:下列的问题,都是由根、平方与数这三样东西组成的。该书给出了六种类型一、二次方程,分六章来叙述。

 

13世纪的中国,在求高次方程数值解,以及解高次联立方程上有重大贡献。1247年,秦九昭给出了一般高次方程的数值解法。李冶创立的“天元术”(1248年)和朱世杰使用的“四元术”(1303年)能够求解一大类的高次联立方程。

16世纪最伟大的数学成就是发现了三次方程和四次方程的求根公式。1515年,费罗用代数方法求解三次方程1535年塔塔利亚宣布自己发现了形如的三次方程代数解法。1545年,卡尔丹在《大衍术》中给出了三次方程和四次方程的解法。三次方程的解法,实质是考虑恒等式,若选取,使得,不难解出,于是得到就是所求的,后人称之为卡尔丹公式。

 

人们开始讨论一般的五次方程的解法。欧拉和拉格朗日进行了尝试,但是都以失败告终。19世纪鲁菲尼和阿贝尔都证明了一般的五次或五次以上的方程的根不可能用方程系数的根式表出。

 

㈡方程在中学数学中的地位和作用

高中阶段对方程学习有较高的要求,重点在于领会方程和函数之间的密切关系以及代数方程与几何图形之间的密切关系。具体包含以下几方面:函数与方程,直线与方程,圆与方程,圆锥曲线与方程,二阶矩阵与二元一次方程组、一阶线性差分方程、参数方程等等。

㈢方程的科学价值

自学教材《中学代数研究》P62~63

 

 

二、方程的定义

㈠方程的几种定义

目前中学数学教科书中通用的方程定义是:含有未知数的等式。但是,形如之类的等式难以界定。

给出一个可以取代的定义:方程是为了求未知数,在未知数和已知数之间建立的一种等式关系。好处在于

①它揭示了方程这一数学思想方法的目标:为了求未知数;

②陈述了“已知数”的存在,解方程需要充分利用已知数和未知数之间的关系;

③方程的本质是“关系”,而且是一个等式关系。

 

在高等数学中方程的定义:形如的等式叫做方程,其中是在它们定义域的交集内研究的两个解析式,且至少有一个不是常函数。

 

㈡方程的分类

的任何一个解都是方程⑵的解,并且方程⑵的任何一个解也都是方程⑴的解,那么方程⑴和⑵称为同解方程

两个无解方程认为是同解方程。

定理如果函数对于方程的定义域中的数都有意义,那么方程⑴与方程⑵同解。

,且有,从而有,即方程的每一个解都是方程的解。

如果,由

可得,即方程的每一个解也都是方程的解

这两个方程是同解方程。

定理如果函数对于方程的定义域中的数都有意义,并且不等于零,那么方程⑴与方程⑵同解。

定理如果,那么方程的解集等于下列各个方程:

个方程的定义域的交集。

定理如果,方程⑴与方程⑵的定义域都是数集,那么方程⑴与方程⑵同解。

 

 

四、几种常见方程的变形

在解方程时,除了利用同解变形外,有时还要作以下几种变形:

⒈方程是方程的结果;正整数是对函数施行乘方运算的指数。可能产生增根,如

⒉方程是方程的结果,不小于2的整数是对函数施行开方运算的根指数(为偶数时,

⒊如果不等于0,那么方程是方程的结果。

⒋如果对于定义域中的数,且,那么方程是方程的结果。

⒌方程是方程的结果。

⒍方程是方程的结果。


五、解方程的常用方法

㈠换元法

解方程

,则。原方程变形为

解之得。所以得到如下四个解

的方程,可以引入三角代换使方程化为较简单的三角方程来求解。关键是使根号内的部分可以成为完全平方式,以便去掉根号。

形如的方程,可令,将方程化为关于的整式方程。

形如的分式方程,可令,化为一个整式方程

课堂练习1 解方程

将方程表示为

因为,将方程两端乘以,得

,则,从而有

解得

满足,求的值。

解法一

,则所以

于是

,则

,则,所以

解法二

,则,所以

,则

,则

 

 

㈢二项方程和三项方程的解法

形如的方程叫做二项方程,解此方程就是求次方根。

定理如果,那么二项方程的根是

3 解方程

 

形如的方程叫做三项方程,特别当时,得方程,称为双二次方程。

4 解方程

,有

,再分别解方程,可得原方程的解为

故方程的解为

的实数解的个数。

同解,所以可设,在同一坐标系内做出两个函数的图像,由图像不难看出:两个函数的图像有两个交点,所以原方程有两个实根。

 

 

㈥待定系数法

7 解方程

用待定系数法,令,代入所给方程并化简得

,则

,因此方程①可写成

解得

换回原来变量,得

 

 

教学后记