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《中学数学研究》——第五章数列

 

   

2013级数学与应用数学

学科

中学数学研究

教师

夏顺友

教学目标

了解数列在数学中的地位及其实用价值;掌握高阶等差数列、递推数列等的基本内容及方法。

重难点

数列在数学中的地位及其实用价值;高阶等差数列、递推数列等的基本内容及方法。

   

新知课

教学方法

讲授法

教学内容与程序

 

一、数列简史

自学教材P125130,思考以下问题:

⒈我国关于数列的早期认识;

⒉国外关于数学的早期认识;

⒊北宋时期沈括创立的高阶等差数列求和计算方法——隙积术;

⒋南宋末期杨辉提出的垛积术;

⒌元朝数学家朱士杰的三角垛系统;

⒍斐波那契数列。

 

 

二、中学数学里的数列及其求和

中学里的数列教学内容,主要是建立数列的概念,学习简单的级数求和方法,特别是仔细研究等差数列和等比数列的各种性质。

⒈数列的定义及其表示

定义在正整数集上的函数构成数列;

《全日制普通高级中学教科书(必修)·数学》第一册(上)中数列的定义为:按一定次序排成的一列数。

关于数列概念应该注意:

①数列具有严格的顺序性;

②集合与数列不完全是一回事;

③数列不等于序列,序列是比数列更广泛的概念。

 

⒉有限数列的通项和拉格朗日插值公式

拉格朗日插值公式:设为任意给定的相异位置,为任意给定的数值(不必相异),则存在唯一的次数不高于的多项式,使得。再者,的明确表达式就是:

有关的问题

  已知数列的通项公式为:,试问这个数列有数值最大的项吗?

 

,所以,当8时,取得最大值

 

⑵与前项和有关的问题

①分组求和法

  求数列的前项和

 

②裂项相消法

  求和:

 

③错项相消法

  求和:

  因为

所以

两式相减,得

 

 


三、数列的差分与高阶等差数列

1.数列的差分

定义  对于数列,称的一阶差数列。并称的一阶差分(简称差分);的一阶差分叫做的二阶差分;一般地,设是任一正整数,则称阶差分。

课堂练习

求下列数列的差分

①数列:111111,…

一阶差分:00000,…

②数列:123456,…

一阶差分:11111,…

二阶差分:0000,…

③数列:149162536,…

一阶差分:357911,…

二阶差分:2222,…

三阶差分:000,…

④数列:12481632,…

一阶差分:124816,…

二阶差分:1248,…

三阶差分:124,…

 

定理  对于数列,有

,这里为常数

证明:

⑴、⑵、⑶直接应用差分定义验证即可;

⑷由⑶,有

于是

与前项和之间的关系。由前述,,从而求一个数列的前项和,实质是要找一个新数列,使得其差分为该数列。

  求数列的前项和

解法一  等比数列的求和公式:

解法二 

解法三  因为

所以

  求和

解法一  因为

所以

解法二  见课本P143

解法三  见课本P144

 

 

2.高阶等差数列

定义  对于数列,若有正整数,使是非零常数列,则称阶等差数列。当时,阶等差数列统称为高阶等差数列。常数列叫做零阶等差数列。

定理  阶等差数列,它的前项的和为,则阶等差数列,且

项的和为

 

根据定理,

年,为使用该汽车的年平均费用。

时等号成立。

因此该汽车使用10年报废最合算。

 

一个水池有若干出水量相同的水龙头,如果所有水龙头同时放水,那么24小时,可注满水池。如果开始时全部开放,以后每隔相等的时间关闭一个水龙头,到最后一个水龙头关闭时,恰好注满水池,而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍,问:最后关闭的这个水龙头放水多少时间?

解:设共有个水龙头,每个水龙头放水的时间依次为

由已知可得 

所以数列是等差数列,每个水龙头1小时放水

,即

故最后关闭的水龙头放水40小时。

 

高考题型⑵

年初某下岗职工承包了一个小商店,一月初向银行贷款10000元作为资金用于进货,每月月底可售出全部货物,获得毛利(收入与投入资金之差)是该月月初投入的20%。每月月底需支出税款等费用共占该月毛利的60%,此外该职工每月还要支出生活费300元,余款作为下月投入资金用于进货。如此下去,问年底该职工拥有多少资金?若贷款年利率为5.72%,问该职工的纯收入为多少?(,结果保留整数)

思路:找到间的递推关系,然后划归为等比数列来解决。

解:设第个月月底的资金为,贷款金额为

是以元为首项,1.08为公比的等比数列。

故该下岗职工年底有资金19488元,年纯收入8916元。

动点从原点出发,沿轴正向移动距离到达,再沿轴正向移动距离到达点,再沿轴正向移动到达点……依次类推无限进行,每转1次距离缩小1半。

⑴求动点行进路线的极限;

⑵动点与坐标平面上哪一点无限接近。

解:⑴动点行进路线依次为,所以

⑵设动点与平面上点无限接近,则

与平面上点无限接近

教学后记